摘要：重难点:正确运用基本不等式证明不等式.会用基本不等式求某些函数的最值 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x.y满足x+2y=1.求+的最小值. 点拨:∵x.y为正数.且x+2y=1. ∴+=(x+2y)(+) =3++≥3+2. 当且仅当=.即当x=-1.y=1-时等号成立. ∴+的最小值为3+2. (2)注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 . 点拨: 错解1.因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4. 错解2..所以z的最小值是. 错因分析:解一等号成立的条件是相矛盾.解二等号成立的条件是.与相矛盾. 解析:z===.令t=xy, 则.由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值 题型1. 当积为定值时,求和最小值 例1 . 已知且满足,求的最小值. [解题思路]利用.构造均值不等式 解析:∵,,∴ ,当且仅当时等号成立,即,∴,又, ∴ ∴当时,有最小值18. [名师指引]利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等 即(1)要求各数均为正数,(2)要求“和 或“积 为定值,(3)要注意是否具备等号成立的条件． 题型2. 当和为定值时, 求积最大值 例2. 已知x>0.y>0.且3x+4y=12.求lgx+lgy的最大值及此时x.y的值． [解题思路]这是条件最值问题.但目标式与已知条件的联系较隐蔽.不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑． 解析∵x>0.y>0.3x+4y=12. ∴ ≤. ∴lgx+lgy=lgxy≤lg3 ． 由 解得 ∴当x=2.y=时.lgx+lgy取得最大值lg3 ． [名师指引]利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一． 题型3.灵活运用基本不等式求取值范围 例3. 若正数a.b满足ab=a+b+3.则ab的取值范围是 ． [解题思路]可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解． 解法一 由a.b∈R+.由重要不等式得a+b≥2. 则ab=a+b+3≥2+3. 即≥≥≥3. ∴ ab≥9 ． 解法二 a.b为正数.∴ ab=a+b+3≥>0. 两边立方得 a3b3≥34aba2b2≥34.∵ab>0.∴ab≥9 ． 解法三 原条件式变为ab-3=a+b. ① ∵ a.b均为正数.故①式两边都为正数.两边平方得 a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab. ∵ a2+b2≥2ab.∴ a2b2-6ab+9≥4ab. 即a2b2-10ab+9≥0.≥0. 由①式可知ab>3.∴ ab≥9 ． 解法四 把a.b∈R+看作一元二次方程的两个根.此方程为 x2+x+ab=0.则△=2-4ab≥0. 即 (ab)2-10ab+9≥0.∴ ≥0. ∵ab-1=a+b+2>0成立.∴ ab≥9 ． 解法五 由已知得a(b-1)=b+3.显然a>1.∴ . ≥. 即ab≥9 ． [名师指引]本题用了转化思想.方程思想.函数思想.这是解决数学问题经常用的思想方法． [新题导练]

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