题目内容

给出函数 $数学公式$ （x∈R）
（1）当t≤-1时，证明y=f（x）是单调递减函数；
（2）当 $数学公式$ 时，可以将f（x）化成 $数学公式$ 的形式，运用基本不等式求f（x）的最小值及此时x的取值；
（3）设一元二次函数g（x）的图象均在x轴上方，h（x）是一元一次函数，记 $数学公式$ ，利用基本不等式研究函数F（x）的最值问题．

解：（1）设x₁＜x₂，则 $\text{[math]}$
化成 $\text{[math]}$
显然，当x₁+x₂≤0时，f（x₁）-f（x₂）＞0
当x₁+x₂＞0时， $\text{[math]}$ ，即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以y=f（x）是单调递减函数；
（2）由题意得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（3）由题意设g（x）=a（x-m）²+n，（a＞0，n＞0），h（x）=tx+b （t≠0），
所以 $\text{[math]}$ ．
若用x代换x-m，用 $\text{[math]}$ 代换t，则F（x）总能化成 $\text{[math]}$ （r＞0）的形式．
由于 $\text{[math]}$ 及q均是常数，因而，只需研究 $\text{[math]}$ （r＞0）的最值．
当|t|≥1时，F（x）是单调函数，无最值．
当|t|＜1时，
$\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设x₁＜x₂，对应的函数值作差后化为 $\text{[math]}$ ，分x₁+x₂≤0和x₁+x₂＞0判断查实的符号，从而得到结论；
（2）把 $\text{[math]}$ 代入，由题意得到关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，然后直接利用基本不等式求最值；
（3）设出两个函数g（x）和h（x）的解析式，得到F（x）后用x代换x-m，用 $\text{[math]}$ 代换t，则F（x）总能化成 $\text{[math]}$ （r＞0）的形式，分|t|大于等于1及小于1讨论最值情况．
点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，考查了数学转化思想方法，是有一定难度题目．