摘要：11．如图.长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB＝1.AA1＝AD＝2.点E为AB中点． (1)求三棱锥A1-ADE的体积, (2)求证:A1D⊥平面ABC1D1, (3)求证:BD1∥平面A1DE. 解:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1 中. 因为AB＝1.E为AB的中点. 所以.AE＝. 又因为AD＝2. 所以S△ADE＝AD·AE＝×2×＝. 又AA1⊥底面ABCD.AA1＝2. 所以三棱锥A1-ADE的体积 V＝S△ADE·AA1＝××2＝. (2)证明:因为AB⊥平面ADD1A1. A1D⊂平面ADD1A1. 所以AB⊥A1D. 因为ADD1A1为正方形. 所以AD1⊥A1D. 又AD1∩AB＝A. AD1⊂平面ABC1D1.AB⊂平面ABC1D1. 所以A1D⊥平面ABC1D1. (3)证明:设AD1.A1D的交点为O.连结OE. 因为ADD1A1为正方形. 所以O是AD1的中点. 在△AD1B中.OE为中位线. 所以OE∥BD1. 又OE⊂平面A1DE.BD1⊄平面A1DE. 所以BD1∥平面A1DE.

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