Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=CC1=

3

，那么异面直线AD₁与DC₁所成角的余弦值是（　　）

• A．

  2

  8

• B．

  3

  8

• C．

  2

  4

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：连结BD、BC₁，由长方体的性质证出AD₁

∥

.

BC₁，因此∠DC₁B（或补角）就是异面直线AD₁与DC₁所成角．△BDC₁中算出各条边的长度，再由余弦定理加以计算即可得到异面直线AD₁与DC₁所成角的余弦值．

解答：解：连结BD、BC₁，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，可得AD₁∥BC₁．且AD₁₌BC₁
因此∠DC₁B（或补角）就是异面直线AD₁与DC₁所成角
∵BD=

AB2+AD2

=2

3

，DC₁=

CD2+CC1 2

=2

3

，
BC₁=

BC2+CC12

=

6

∴△BDC₁中，由余弦定理得cos∠DC₁B=

DC12+BC12-BD2

2DC1•BC1

=

2

4

由此可得异面直线AD₁与DC₁所成角的余弦值是

2

4

故选：C

点评：本题在长方体中求异面直线的所成角大小，着重考查了长方体的性质、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．