摘要：12．设f(x)是定义在R上的奇函数.且对任意实数x.恒有f(x+2)＝-f(x)．当x∈[0,2]时.f(x)＝2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数, (2)当x∈[2,4]时.求f(x)的解析式, (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+-+f． 解:(1)∵f(x+2)＝-f(x). ∴f(x+4)＝-f(x+2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[-2,0]时.-x∈[0,2].由已知得 f(-x)＝2(-x)-(-x)2＝-2x-x2. 又f(x)是奇函数.∴f(-x)＝-f(x)＝-2x-x2. ∴f(x)＝x2+2x. 又当x∈[2,4]时.x-4∈[-2,0]. ∴f(x-4)＝(x-4)2+2(x-4)． 又f(x)是周期为4的周期函数. ∴f(x)＝f(x-4) ＝(x-4)2+2(x-4) ＝x2-6x+8. 从而求得x∈[2,4]时.f(x)＝x2-6x+8. (3)f(0)＝0.f(2)＝0. f(1)＝1.f(3)＝-1. 又f(x)是周期为4的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)＝f(4)+f(5)+f(6)+f(7)＝-＝f+f+f+f+f＝0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+-+f＝0.

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