摘要：设x.y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明:充分性:如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|. 如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0. 当x>0,y>0时.|x+y|=x+y=?|x|+|y|?, 当x<0,y<0时.|x+y|=-=|x|+|y|.总之.当xy≥0时.有|x+y|=|x|+|y|. 必要性:解法一:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,∴xy≥0. 解法二:|x+y|=|x|+|y|(x+y)2=2x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy|xy=|xy|xy≥0.

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