Question

设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

证明：（1）充分性：如果xy≥0，则有xy=0和xy＞0两种情况.

当xy=0时，

若x=0，则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|，

若y=0，则|x+y|=|x|,|x|+|y|=|x|，

∴xy=0|x+y|=|x|+|y|.

当xy＞0时，若x＞0,y＞0时，

则|x+y|=x+y=|x|+|y|，

∴等式成立.

若x＜0,y＜0时，

则|x+y|=-x-y,|x|+|y|=-x-y，

∴等式成立.

∴xy＞0|x+y|=|x|+|y|.

总之当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|成立.

（2）必要性：若|x+y|=|x|+|y|，

且x、y∈R，

得|x+y|²=(|x|+|y|)²，

即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².

∴xy=|xy|.∴xy≥0.

综上,可知xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.