Question

设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

思路分析：要证充要条件，需要证明充分性，还要证明必要性，对x,y的取值进行讨论，再综合总结.分x，y中有一个为0，均为0及x、y的符号的各种情况.?

证明：充分性：若xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.?

如果xy＞0,即x＞0,y＞0或x＜0,y＜0,?

当x＞0,y＞0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|.?

当x＜0,y＜0时,|x+y|=-（x+y）=-x+（-y）=|x|+|y|.?

总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.?

必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得（x+y）²=（|x|+|y|）²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².?

|xy|=xy.∴xy≥0.?

综上，结论成立.

温馨提示

充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，心要性是证明哪一个命题.