摘要：例11 已知定义域为的函数f(x).对任意x.y∈恒有f(xy)=f(x)+f(y)． (1)求证:当x∈时., (2)若x＞1时.恒有.求证:f(x)必有反函数, (3)设是f(x)的反函数.求证:在其定义域内恒有． 证明:(1)∵.则有f(1)= f(1)+f(1) ,∴有f(1)=0.∴． (2).且时..∴． 由.得. ∴.知f(x)在上为单调递减函数．∴f(x)必有反函数． (3)设.∴..即． 例12 已知函数.其定义域为． (1)若f(x)在其定义域内有反函数.求t的取值范围, 的条件下.求反函数． 解:(1)∵f(x)在时其对称轴为x=t． 当时.f(x)在其定义域内为增函数.所以此时f(x)有反函数, 同理.当时.f(x)在其定义域内也有反函数, 当时.f(x)图象在的一段比在的一段更靠近对称轴．那么要使得f(x)在定义域内有反函数.应有． 则得.解得, 当时.同理应有.解得, 当时f(x)显然不存在反函数． 有以上讨论可知.f(x)在其定义域内有反函数的t的范围为:． (2)由.得． 当时知..∴． ∴此时反函数为.其中 当时.． ∴此时反函数为.其中 当时.反函数为．

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