摘要：12．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2+2ax.g(x)＝3a2ln x+b.其中a>0.设两曲线y＝f(x).y＝g(x)有公共点.且在该点处的切线相同． (1)用a表示b.并求b的最大值, (2)求证:f(x)≥g(x)(x>0)． [解析] (1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0.y0)处的切线相同. ∵f′(x)＝x+2a.g′(x)＝. 由题意知f(x0)＝g(x0).f′(x0)＝g′(x0)． 即. 由x0+2a＝.得:x0＝a.或x0＝-3a． 即有b＝a2+2a2-3a2ln a ＝a2-3a2ln a. 令h(t)＝t2-3t2ln t(t>0).则 h′(t)＝2t(1-3ln t).于是 当t(1-3ln t)>0时.即0<t<e时.h′(t)>0, 当t(1-3ln t)<0时.即t>e时.h′(t)<0. 故h(t)在(0.e)为增函数.在为减函数． 于是h(t)在的最大值为h(e)＝e. (2)证明:设F(x)＝f(x)-g(x) ＝x2+2ax-3a2ln x-b(x>0). 则F′(x)＝x+2a-＝(x>0). 故F(x)在(0.a)为减函数.在(a.+∞)为增函数. 于是函数F(x)在上的最小值是 F(a)＝F(x0)＝f(x0)-g(x0)＝0. 故当x>0时.有f(x)-g(x)≥0. 即当x>0时.f(x)≥g(x)．

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