Question

已知定义在正实数集上的函数f(x)=x²+2ex，g(x)=3e²lnx+b（其中e为常数，e=2.718 28…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同，
(Ⅰ)求实数b的值；
(Ⅱ)当x∈[，e]时，恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)，
设函数与的图象有公共点为，
由题意，得，
解得：。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
所以，，
即，①
当时，lnx＜0，∴x-lnx＞0，
当时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，
∴x-lnx＞0，
所以，则由①式可得在[，e]上恒成立，
设，
又，
令，得x=1，
又lnx≤1，
∴，
所以，当时，；
当时，，
所以，函数F（x）在上为减函数，在上为增函数，
又，
故，
所以，实数a的取值范围是。