摘要：10．如图.在直角三棱柱ABC-A1B1C1中.平面A1BC⊥侧面A1ABB1. (1)求证:AB⊥BC, (2)若AA1＝AC＝a.直线AC与平面A1BC所成的角为θ.二面角A1-BC-A的大小为φ. 求证:θ+φ＝. [证明] (1)如图.过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D.则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1.且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B.得AD⊥平面A1BC. 又BC⊂平面A1BC. 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱. 则AA1⊥底面ABC.所以AA1⊥BC. 又AA1∩AD＝A.从而BC⊥侧面A1ABB1. 又AB⊂侧面A1ABB1 故AB⊥BC. (2)连结CD.则由(1)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角. ∠ABA1就是二面角A1-BC-A的平面角. 即∠ACD＝θ.∠ABA1＝φ. 于是在Rt△ADC中.sin θ＝＝. 在Rt△ADA1中.sin∠AA1D＝＝. ∴sin θ＝sin∠AA1D.由于θ与∠AA1D都是锐角.所以θ＝∠AA1D. 又由Rt△A1AB知.∠AA1D+φ＝. 故θ+φ＝.

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