Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C．
（1）求证：D为棱BB₁中点；
（2）

AA1

AB

为何值时，二面角A-A₁D-C的平面角为60°．

Answer 1

分析：（1）过点D作DE⊥A₁C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．先证明DE⊥面AA₁C₁C，再证明D，E，F，B共面，进而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，即可得到结论；
（2）过B作BH⊥A₁G于点H，由三垂线定理知，A₁G⊥CH，则可得∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角，利用二面角A-A₁D-C的平面角为60°，即可得到结论．

解答：（1）证明：过点D作DE⊥A₁C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．

∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C内的直线DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，∴BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，
又BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，
所以DB=EF=

1

2

AA1=

1

2

BB1
所以D为棱BB₁中点；
（2）解：延长A₁D与直线AB相交于G，则CB⊥面AA₁B₁B
过B作BH⊥A₁G于点H，由三垂线定理知，A₁G⊥CH
由此可知∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角
设AA1=2b，AB=BC=a，则在直角△A₁AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH=

BD•BG

DG

=

b•a

a2+b2

；
在直角△CHB中，tan∠CHB=

BC

BH

=

a2+b2

b

，
∵二面角A-A₁D-C的平面角为60°，
∴

a2+b2

b

=tan60°=

3

∴

2b

a

=

2

∴

AA1

AB

=

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查面面角，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．