摘要：18．设函数f(x)对任意x.y∈R.都有f(x+y)＝f(x)+f(y).且x＞0.f(x)＜0,f(1)＝-2. (1)证明f(x)是奇函数, (2)证明f(x)在R上是减函数, (3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值． 证明:(1)由f(x+y)＝f(x)+f(y). 得f[x+(-x)]＝f(x)+f(-x). ∴f(x)+f(-x)＝f(0)． 又f(0+0)＝f(0)+f(0).∴f(0)＝0. 从而有f(x)+f(-x)＝0.∴f(-x)＝-f(x)． ∴f(x)是奇函数． (2)任取x1.x2∈R.且x1＜x2.则f(x1)-f(x2)＝f(x1)-f[x1+(x2-x1)]＝f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]＝-f(x2-x1)．由x1＜x2. ∴x2-x1＞0.∴f(x2-x1)＜0. ∴-f(x2-x1)＞0.即f(x1)＞f(x2). 从而f(x)在R上是减函数． (3)由于f(x)在R上是减函数.故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3).最小值为f(3)．由f(1)＝-2.得f(3)＝f(1+2)＝f(1)+f(2)＝f(1)+f(1+1)＝f(1)+f(1)+f(1)＝3f＝-6.f(-3)＝-f(3)＝6. ∴最大值为6.最小值为-6.

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