摘要：21．(2010·河南省实验中学期中试卷)已知函数f(x)＝ax3+bx2-3x在x＝±1处取得极值． (1)求函数f(x)的解析式, (2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量x1.x2都有|f(x1)-f(x2)|≤4, (3)若过点A(1.m)(m≠-2)可作曲线y＝f(x)的三条切线.求实数m的取值范围． 解析:(1)∵f ′(x)＝3ax2+2bx-3. 依题意f ′(1)＝f ′(-1)＝0. 即.解得a＝1.b＝0.∴f(x)＝x3-3x. (2)∵f(x)＝x3-3x.∴f ′(x)＝3x2-3＝3(x+1)(x-1). 当-1＜x＜1时.f ′(x)＜0.故f(x)在区间[-1,1]上为减函数. fmax(x)＝f(-1)＝2.fmin(x)＝f(1)＝-2. ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量x1.x2 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)| 即|f(x1)-f(x2)|≤|2-(-2)|＝4. (3)f ′(x)＝3x2-3＝3(x+1)(x-1). ∵曲线方程为f(x)＝x3-3x.∴点A(1.m)不在曲线上. 设切点为M(x0.y0).则点M的坐标满足y0＝x-3x0. 因f ′(x0)＝3(x-1).故切线的斜率为3(x-1)＝.整理得2x-3x+m+3＝0. ∵过点A(1.m)可作三条切线. ∴关于x0的方程式2x-3x+m+3＝0有三个实根.设g(x0)＝2x-3x+m+3. 则g′(x0)＝6x-6x0由g′(x0)＝0得x0＝0或x0＝1. ∴函数g(x0)＝2x-3x+m+3的极值点为x0＝0.x0＝1. ∴关于x0的方程2x-3x+m+3＝0有三个实数根的充要条件是g(1)g(0)＜0即(m+3)(m+2)＜0. 解得-3＜m＜-2.故所求实数a的取值范围是-3＜m＜-2.

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