Question

已知函数f(x)=ax³+x²+bx(其中常数a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数，
(Ⅰ)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意，得f′(x)=3ax²+2x+b，
因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax³+(3a+1)x²+(b+2)x+b，
因为函数g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x)，
即对任意实数x，有a(-x)³+(3a+1)(-x)²+(b+2)(-x)+b=-[ax³+(3a+1)x²+(b+2)x+b]，
从而3a+1=0，b=0，
解得，b=0，
因此f(x)的解析表达式为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
所以g′(x)=-x²+2，
令g′(x)=0，解得，
则当时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间上是减函数；
当时，g′(x)＞0，从而g(x)在区间上是增函数；
由前面讨论知，g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1，，2时取得，
而，
因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为，最小值为。