摘要：22． 如图17所示.四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是边长为2的正方形.PB⊥BC.PD⊥CD.且PA＝2.E为PD中点． 图17 (1)求证:PA⊥平面ABCD, (2)求二面角E-AC-D的大小, (3)在线段BC上是否存在点F.使得点E到平面PAF的距离为?若存在.确定点F的位置,若不存在.请说明理由． 解:(1)证明:∵底面ABCD为正方形.∴BC⊥AB.又BC⊥PB.∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PA. 同理CD⊥PA. ∴PA⊥平面ABCD. (2)建立如图18所示的空间直角坐标系A-xyz. 图18 则A.C.E． 设m＝(x.y.z)为平面AEC的一个法向量． 则m⊥.m⊥. 又＝. ∴ 令x＝1.则y＝-1.z＝1.得m＝ 又＝是平面ACD的一个法向量. 设二面角E-AC-D的大小为θ.则 cosθ＝cos?m.?＝AP,\s\up6(→\s\up7( ＝＝. ∴二面角E-AC-D的大小为arccos. (3)设F(2.t,0)(0≤t≤2).n＝(a.b.c)为平面PAF的一个法向量.则n⊥.n⊥. 又＝.＝(2.t,0).∴ 令a＝t.则b＝-2.c＝0. 得n＝(t.-2,0)． 又＝． ∴点E到平面PAF的距离为＝. ∴＝.解得t＝1.即F． ∴在线段BC上存在点F.且F为BC中点.使得点E到平面PAF的距离为.

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