如图9-32.△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形.且AD=BD=CD.∠BAC=60°．求证: 图9-32 (1)BD⊥平面ADC, (2)若H是△ABC的垂心.则H为D——青夏教育精英家教网——

摘要：如图9-32.△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形.且AD=BD=CD.∠BAC=60°．求证: 图9-32 (1)BD⊥平面ADC, (2)若H是△ABC的垂心.则H为D在平面ABC内的射影．解析:(1)设AD=BD=CD=a.则．∵ ∠BAC=60°.∴ ．由勾股定理可知.∠BDC=90°．即BD⊥DC.又∵ BD⊥AD.AD∩DC=D.∴ BD⊥平面ADC． (2)如图答9-21.要证H是D在平面ABC上的射影.只需证DH⊥平面ABD．连结HA.HB.HC．∵ H是△ABC的垂心.∴ CH⊥AB．∵ CD⊥DA.CD⊥BD.∴ CD⊥平面ABD.∴ CD⊥AB．∵ CH∩CD=C.∴ AB⊥平面DCH． ∵ DH平面DCH.∴ AB⊥DH.即DH⊥AB.同理DH⊥BC．∵ AB∩BC=B.∴ DH⊥平面ABC．

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如图9-44，以等腰直角三角形的斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD折成相垂直的两个面．求证：BD⊥CD，∠BAC=60°．

图9-44

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如图，已知△ABD是等腰直角三角形，∠D=90°，BD=

．现将△ABD沿斜边的中线DC折起，使二面角A-DC-B为直二面角，E是线段AD的中点，F是线段AC上的一个动点（不包括A）．
（1）确定F的位置，使得平面ABD⊥平面BEF；
（2）当直线BD与直线EF所成的角为60°时，求证：平面ABD⊥平面BEF．

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（2012•福建模拟）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

，∠ABC=90°，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB；
（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

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（2012•福建模拟）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=

，AB⊥BC，CD⊥BD，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如图2．

（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱锥A′-BDC的体积；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得A′N⊥BD？若存在，请求出

的值；若不存在，请说明理由．

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（2013•许昌二模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=

，AB⊥BC，CD⊥BD，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面A'BD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥A'B；
（Ⅱ）求三棱锥A'-BDC的体积．

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