Question

（2012•福建模拟）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB；
（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出

BN

BC

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量为

n

=(1，0，-1)，进而可求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设

BN

=λ

BC

， 0＜λ＜1，可得

AN

=(1-2λ，2λ，-1)，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．…（2分）
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD．…（3分）
又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB．…（4分）
（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．
∴

CD

=(0，-2，0)，

AD

=(-1，0，-1)．…（6分）
设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

CD

⊥

n

，

AD

⊥

n

，∴

y=0 x+z=0

令x=1，得平面ACD的一个法向量为

n

=(1，0，-1)，
∴点M到平面ACD的距离d=

| n • MC |

| MC |

=

2

2

．…（8分）
（Ⅲ）解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°．…（9分）
设

BN

=λ

BC

， 0＜λ＜1，则N（2-2λ，2λ，0），
∴

AN

=(1-2λ，2λ，-1)，
又∵平面ACD的法向量

n

=(1，0，-1)且直线AN与平面ACD所成角为60°，
∴sin60°=

| AN • n |

| AN |•| n |

=

3

2

，…（11分）
可得8λ²+2λ-1=0，
∴λ=

1

4

或λ=-

1

2

（舍去）．
综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时

BN

BC

=

1

4

．…（13分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．