摘要：12．已知{an}是等差数列.d为公差且不为0.a1和d均为实数.它的 前n项和记作Sn.设集合A＝{(an.)|n∈N*}.B＝{(x.y)|x2-y2＝1.x.y∈R}．试问下 列结论是否正确.如果正确.请给予证明,如果不正确.请举例说明: (1)若以集合A中的元素作为点的坐标.则这些点都在同一条直线上, (2)A∩B至多有一个元素, (3)当a1≠0时.一定有A∩B≠∅. 解 (1)在等差数列{an}中.对一切n∈N*.有Sn＝.则＝＝(a1+an). 这表明点(an.)适合方程y＝(x+a1).于是点(an.)均在直线y＝x+a1上． (2)设(x.y)∈A∩B. 则x.y是方程组的解. 由方程组消去y得2a1x+a21＝-4. 当a1＝0时.方程2a1x+a21＝-4无解. 此时A∩B＝∅, 当a1≠0时. 方程2a1x+a21＝-4只有一个解x＝. 此时.方程组只有一解. 故上述方程组至多有解. 所以A∩B至多有一个元素． (3)取a1＝1.d＝1.对一切的n∈N*. 有an＝a1+(n-1)d＝n>0.>0. 这时集合A中的元素作为点的坐标.其横.纵坐标均为正. 另外.由于a1＝1≠0.如果A∩B≠∅. 那么根据(2)的结论.A∩B至多有一个元素(x0.y0).而x0＝＝-<0.y0＝ ＝-<0.这样的(x0.y0)∉A.产生矛盾.故a1＝1.d＝1时.A∩B＝∅.所以.当a1≠0时.一定有A∩B≠∅是不正确的． §1.2 命题及其关系.充分条件与必要条件

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