摘要：31．(福建•理•18题)如图.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2.D为CC1中点. (Ⅰ)求证:AB1⊥面A1BD, (Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小, (Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离, 分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系.二面角的大小.点到平面的距离等知识.考查空间想象能力.逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解答:解法一:(Ⅰ)取中点.连结． 为正三角形.． 正三棱柱中.平面平面. 平面． 连结.在正方形中.分别为 的中点. . ． 在正方形中.. 平面． (Ⅱ)设与交于点.在平面中.作于.连结.由(Ⅰ)得平面． . 为二面角的平面角． 在中.由等面积法可求得. 又. ． 所以二面角的大小为． (Ⅲ)中..． 在正三棱柱中.到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由得. ． 点到平面的距离为． 解法二:(Ⅰ)取中点.连结． 为正三角形.． 在正三棱柱中.平面平面. 平面． 取中点.以为原点...的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.则..... ..． .. .． 平面． (Ⅱ)设平面的法向量为． .． .. 令得为平面的一个法向量． 由(Ⅰ)知平面. 为平面的法向量． .． 二面角的大小为． .为平面法向量. ． 点到平面的距离．

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