Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，点P在平面BCC₁B₁内，PB1=PC1=

2

．
（1）求证：PA₁⊥BC；
（2）求二面角C₁-PA₁-A．

Answer 1

分析：（1）要证直线与直线垂直，首先把一个直线放到一个已知平面上，根据直线与平面垂直的判定定理做出线与面垂直，进而证得线与线垂直．
（2）以点D₁为坐标原点，D₁B₁，D₁A₁，D₁P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系D₁-xyz，平面PAA₁所在平面为坐标平面yOz，取平面PAA₁的一个法向量，根据两个向量之间的夹角得到二面角的大小．

解答：解：（1）证明：设B₁C₁的中点为D₁，∵PB₁=PC₁，∴PD₁⊥B₁C₁，
又∵△A₁B₁C₁是正三角形，∴A₁D₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面PA₁D₁，
∴PA₁⊥B₁C₁，
又∵BC∥B₁C₁，∴PA₁⊥BC；
（2）∵平面PB₁BCC₁⊥平面A₁B₁C₁，∴PD₁⊥平面A₁B₁C₁，
又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴A，A₁，P，D₁四点共面，
如图，以点D₁为坐标原点，D₁B₁，D₁A₁，D₁P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系D₁-xyz，
平面PAA₁所在平面为坐标平面yOz，取平面PAA₁的一个法向量

m

=(1，0，0)
由PC1=PB1=

2

，B1C1=2得到PD₁=1，
由A₁B₁=B₁C₁=C₁A₁=2得到A1D1=

3

，
点P的坐标为（0，0，1），点A₁的坐标为(0，

3

，0)，
点C₁的坐标为（-1，0，0），
设平面PC₁A₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

PA1

=(x，y，z)•(0，

3

，-1)=0，所以z=

3

y

n

•

PC1

=(x，y，z)•(-1，0，-1)=0，所以x=-z，
令y=1，则

n

=(-

3

，1，

3

)，
cos?

m

，

n

＞=

- 3

7

=-

21

7

，
即所求二面角是arccos

21

7

．

点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．