Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为m，E是侧棱CC₁的中点，求证AB₁⊥平面A₁BE．

Answer 1

分析：通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用非零向量

a

•

b

=0?

a

⊥

b

证明垂直即可．

解答：证明：取BC的中点O作为坐标原点．
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设m=2．
则A(-

3

，0，0)，B（0，-1，0），B₁（0，-1，2），A1(-

3

，0，2)，E（0，1，1）．
∴

AB1

=(

3

，-1，2)，

BE

=（0，2，1），

BA1

=(-

3

，1，2)．
∴

AB1

•

BE

=0-2+2=0，

AB1

•

BA1

=-3-1+4=0．
∴

AB1

⊥

BE

，

AB1

⊥

BA1

，即AB₁⊥BE，AB₁⊥BA₁．
又∵BE∩BA₁=B．
∴AB₁⊥平面A₁BE．

点评：熟练掌握利用非零向量

a

•

b

=0?

a

⊥

b

证明垂直及线面垂直的判定定理是解题的关键．