Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）先证明直线AB₁垂直平面A₁BD内的两条相交直线BD、A₁B，即可证明AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）设AB₁与A₁B交于点C，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连接AF，
说明∠AFG为二面A-A₁B-B的平面角，然后求二面角A-A₁D-B的大小．
法二：取BC中点O，连接AO，以0为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出

AB1

•

BD

=0，

AB1

•

BA1

=0，
即可证明AB₁⊥平面A₁BD．
求出平面A₁AD的法向量为

n

=（x，y，z），

AB1

为平面A₁BD的法向量，
然后求二者的数量积，求二面角A-A₁D-B的大小．

解答：解：法一：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
连接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分别为BC、CC₁的中点，
∴B₁O⊥BD，
∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）设AB₁与A₁B交于点G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB₁⊥平面A₁BD，
∴∠AFG为二面A-A₁D-B的平面角，
在△AA₁D中，由等面积法可求得AF=

4 5

5

，
又∵AG=

1

2

AB1=

2

，
∴sin∠AFG=

AG

AF

=

2

4 5 5

=

10

4

，
所以二面角A-A₁D-B的大小为arcsin

10

4

．

法二：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中点O₁，以0为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，

3

），A（0，0，

3

），B₁（1，2，0），
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)
∵

AB1

•

BD

=-2+2+0=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0，
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）设平面A₁AD的法向量为

n

=（x，y，z），

AD

=(-1，1，-

3

)，

AA1

=(0，2，0)．
∵

n

⊥

AD

，

n

⊥

AA1

，
∴

n • AD =0 n • AA1 =0

∵

-x+y- 3 =0 2y=0

∴

y=0 x=- 3 z

令z=1得

n

=（-

3

，0，1）为平面A₁AD的一个法向量．
由（Ⅰ）知AB₁⊥A₁BD．
∴

AB1

为平面A₁BD的法向量．
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

- 3 - 3

2•2 2

=-

6

4

．
∴二面角A-A₁D-B的大小为arccos

6

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．