已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁和C₁D₁的中点，点A₁到平面DBEF的距离．

已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是．

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O为底ABCD对角线的交点．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面AB₁D₁； 
（Ⅱ）求A₁到平面AB₁D₁的距离．

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中点，求直线AE与平面ABC₁D₁所成角的正弦值．

如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）线段A₁B上是否存在一点P，使得A₁B⊥平面PAC？若存在，确定P点的位置，若不存在，说明理由；
（2）点P在A₁B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的长；
（3）Q点在对角线B₁D，使得A₁B∥平面QAC，求

B1Q

QD

．