Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁和C₁D₁的中点，点A₁到平面DBEF的距离

1

．

Answer 1

分析：以D为原点，DA，DC，DD₁的方向分别为X，Y，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDFE的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可得点A₁到平面DBFE的距离．

解答：解：建立空间直角坐标系D-xyz，则B（1，1，0），E（

1

2

，1，1），F（0，

1

2

，1），
设

n

=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由

n

⊥

DB

，

n

⊥

DF

，

DB

=（1，1，0），

DF

=（0，

1

2

，1）得：

n

•

DB

=x+y=0

n

•

DF

=

1

2

y+z=0
所以：x=-yz=-

y

2

令y=1，得

n

=（-1，1，

1

2

），
设点A在平面BDFE上的射影为H，
连接A₁D，A₁D是平面BDFE的斜线段，
则：cos＜

A1D

，

A1H

＞=

2

2

，
所以|

A1H

|=|

A1D

|•cos＜

A1D

，

A1H

＞=1所以点A₁到平面DBEF的距离为1；
故答案为：1

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，点、线、面的距离的计算，其中根据已知建立空间坐标系，将问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．