Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中点，求直线AE与平面ABC₁D₁所成角的正弦值

10

5

．

Answer 1

分析：取AB的中点F，连接B₁F，取C₁B的中点O，连接FO，B₁O，根据B₁O⊥平面ABC₁D₁，可知∠B₁FO为B₁F与平面ABC₁D₁所成角，在Rt三角形B₁FO中求解即可，而AE∥B₁F，从而求出所求．

解答：解：取AB的中点F，连接B₁F，取C₁B的中点O，连接FO，B₁O
B₁O⊥平面ABC₁D₁，∴∠B₁FO为B₁F与平面ABC₁D₁所成角
B₁O=

2

2

，B₁F=

5

2

∴sin∠B₁FO=

2 2

5 2

=

10

5

而AE∥B₁F，所以直线AE与平面ABC₁D₁所成角的正弦值为

10

5

故答案为：

10

5

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，属于中档题．