摘要：有点难度哟! (北京市东城区2004~2005学年第一学期期末教学目标检测)已知常数a>0.向量m=(0.a).n=(1.0).经过定点A(0.-a).以m+λn为方向向量的直线与经过定点B(0.a).以n+2λm为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R. (1)求点P的轨迹C的方程, (2)若a=.过E(0.1)的直线l交曲线C于M.N两点.求·的取值范围. 解:(1)设P点的坐标为(x.y).则 =(x.y+a).=(x.y-a). 又n=(1.0).m=(0.a). 故m+λn=(λ.a).n+2λm=(1.2λa). 由题知向量与向量m+λn平行.故λ(y+a)=ax. 又向量与向量n+2λm平行.故y-a=2λax. 两方程联立消去参数λ.得点P(x.y)的轨迹方程是(y+a)(y-a)=2a2x2. 即y2-a2=2a2x2. (2)∵a=.故点P的轨迹方程为2y2-2x2=1. 此时点E(0.1)为双曲线的焦点. ①若直线l的斜率不存在.其方程为x=0.l与双曲线交于M(0.).N(0.-). 此时·=(-1)(--1)=1-=. ②若直线l的斜率存在.设其方程为y=kx+1.代入2y2-2x2=1化简得2(k2-1)x2+4kx+1=0. ∵直线l与双曲线交于两点. ∴Δ=(4k)2-8(k2-1)>0且k2-1≠0. 解得k≠±1. 设两交点为M(x1.y1).N(x2.y2). 则x1+x2=.x1x2=. 此时·＝(x1.y1-1)·(x2.y2-1)=(x1.kx1)·(x2.kx2) =x1x2+k2x1x2=(k2+1)x1x2 ==(1+). 当-1<k<1时.k2-1<0.故·＝(1+)≤-, 当k>1或k<-1时.k2-1>0. 故·=(1+)>. 综上所述.·的取值范围是(-∞.-)∪［.+∞).
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已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（ax-bx）．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．
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（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+m；
（Ⅰ）已知常数a＜2，解关于x的不等式f（x）+a-2＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
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已知函数f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+m；
（Ⅰ）已知常数a＜2，解关于x的不等式f（x）+a-2＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．