Question

[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+m；
（Ⅰ）已知常数a＜2，解关于x的不等式f（x）+a-2＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）通过f（x）+a-2＞0得|x-3|＞2-a，去掉绝对值符号，求解不等式，推出不等式的解集即可．
（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，等价于f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-3|+|x+4|，求出函数的最小值，即可得到结论．

解答：解：（I）由f（x）+a-2＞0得|x-3|＞2-a，
∵常数a＜2，
∴x-3＞2-a或x-3＜a-2，即x＞5-a或x＜a+1，
故不等式的解集为（-∞，a+1）∪（5-a，+∞）；
（II）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x-3|+|x+4|，
∵|x-3|+|x+4|≥|x-3-（x+4）|=7，
∴m＜7，即实数m的取值范围为m＜7．

点评：本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．