Question

已知常数a≠0，数列{a_n}前n项和为S_n，且Sn=an2-(a-1)n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）若an≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=

1

2

，数列{c_n}满足：cn=

an

an+2012

，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使得c_k=c_p•c_q？若存在，求出p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=

Sn

n

+a(n-1)，知S_n=na_n-an（n-1），a_n+1=S_n+1-S_n，由此能够证明数列{a_n}是等差数列．
（Ⅱ）由a_n=1+2a（n-1），an≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立，知1+2a（n-1）≤2n³-13n²+11n+1对任意的正整数n恒成立，故a≤

2n3-13n2+11n

2(n-1)

对任意的正整数n恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）由a=

1

2

，知a_n=n，cn=

n

n+2012

，因为对任意正整数k，都存在正整数p，q，使c_k=c_pc_q，所以

k

k+2012

=

p

p+2012

•

q

q+2012

，由此能够求出结果．

解答：（Ⅰ）证明：∵an=

Sn

n

+a(n-1)，
∴S_n=na_n-an（n-1），a_n+1=S_n+1-S_n，…（2分）
∴a_n+1=[（n+1）a_n+1-a（n+1）n]-[na_n-an（n-1）]
化简得：a_n+1-a_n=2a（常数），…（4分）
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2a的等差数列；…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1），
∵an≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立，
∴1+2a（n-1）≤2n³-13n²+11n+1对任意的正整数n恒成立，…（6分）
∴a≤

2n3-13n2+11n

2(n-1)

对任意的正整数n恒成立，…（7分）
∴a不大于

2n3-13n2+11n

2(n-1)

，n∈Z₊最小值．
∵

2n3-13n2+11n

2(n-1)

=

n(n-1)(2n-11)

2(n-1)

=n²-

11

2

n=（n-

11

4

）²-

121

16

，n∈Z₊
∴当n=3时，

2n3-13n2+11n

2(n-1)

取最小值

1

16

-

121

6

=-20．
∴实数a的取值范围是（-∞，-20]．…（10分）
（Ⅲ）解：∵a_n=1+2a（n-1），a=

1

2

，
∴a_n=n，又∵cn=

n

n+2012

，
设对任意正整数k，都存在正整数p，q，使c_k=c_pc_q，
∴

k

k+2012

=

p

p+2012

•

q

q+2012

，
∴p=

k(q+2012)

q-k

…（14分）
令q=k+1，则p=k（k+2012）或q=2k，p=2k+2012，
∴c_k=c_{k（k+2012）}•c_k+1（或）c_k=c_2k+2012•c_2k．…（16分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查实数的取值范围的求法，考查实数取值的判断．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．