摘要：和 中至少有一个有奇数解． 证明 首先我们证明如下一个 引理:不定方程 ① 或有奇数解.或有满足 ② 的偶数解.其中k是整数． 引理的证明 考虑如下表示 . 则共有个表示.因此存在整数..满足.且 . 这表明 . ③ 这里.由此可得 . 故.因为.所以 . 于是．因为m为奇数..显然没有整数解． (1) 若.则是方程①满足②的解． (2) 若.则是方程①满足②的解． (3) 若.则． 首先假设3m.若.且.则 ④ 是方程①满足②的解．若.则 ⑤ 是方程①满足②的解． 现在假设.则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解.则 ． 因为的奇偶性不同.所以.都为奇数． 若.则是方程①的一奇数解． 若.则是方程①的一奇数解． (4).则． 当5m时.若.或.则 ⑥ 是方程①满足②的解． 若.或.则 ⑦ 是方程①满足②的解． 当.则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解.则 . 可得 ． 若 .或者 .或者 .则是方程①的一奇数解． 若 .或.则 是方程①的一奇数解． 引理证毕． 由引理.若方程①没有奇数解.则它有一个满足②的偶数解．令.考虑二次方程 . ⑧ 则 . 这表明方程⑧至少有一个整数根.即 . ⑨ 上式表明必为奇数．将⑨乘以4n后配方得 . 这表明方程有奇数解． 2006中国数学奥林匹克 (第二十一届全国中学生数学冬令营) 第二天 福州 1月13日 上午8∶00-12∶30 每题21分

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