摘要： 如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC = 1.BC =2. (1) 如图2, ⊙O 与Rt△ABC的边AB 相切于点X.与边CB相切于点Y.请你在图2 中作出并标明⊙O 的圆心0,(用尺规作图.保留作图痕迹.不写作法和证明) (2) P 是这个Rt△ABC上和其内部的动点.以P 为圆心的⊙P 与Rt△ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S.你认为能否确定S 的最大值? 若能.请你求出S 的最大值,若不能.请你说明不能确定S的最大值的理由. [答案]解:(1)共2分.(标出了圆心.没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一 条 垂 线 即评1分. (2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时.由角平分线的性质.动点P是∠ABC的平分线BM上的点.如图1.在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 .∵ OX ＝BOsin∠ABM.P1Z＝BP1sin∠ABM．当 BP1＞BO 时 .P1Z＞OX,即P与B的距离越大.⊙P的面积越大．这时.BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点. (3分.此处没有证明和结论不影响后续评分)如图2.∵∠BPA＞90°.过点P作PE⊥AB.垂足为E.则E在边AB上.∴以P为圆心.PC为半径作圆.则⊙P与边CB相切于C.与边AB相切于E.即这时的⊙P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结论不影响后续评分)这时⊙P的面积就是S的最大值.∵∠A＝∠A.∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE.∴ =.∵AC＝1.BC＝2.∴AB＝ .设PC＝x.则PA＝AC-PC＝1-x,PC＝PE. ∴ =.∴x＝． ② 如图3.同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时. 设PC＝y.则 =.∴y= ③ 如图4.同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时.设PF＝z.则=.∴z=由①.②.③可知:∵ ＞2.∴ +2＞+1＞3.∵当分子.分母都为正数时.若分子相同.则分母越小.这个分数越大.(或者:∵x＝＝2 -4, y= = . ∴y-x=>0,∴y>x. ∵z-y=- =>0.∴2> > .(9分.没有过程直接得出酌情扣1分)∴ z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为π.

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