Question

如图，Rt△ABC（∠ABC=90°）的顶点A是双曲线y=

k

x

与直线y=x+k的在第一象限的交点，C为y=x+k与x轴的交点．若S_△ABO=1，
（1）求出这两个函数的表达式和△ABC的面积；
（2）点M、N分别在x轴和y轴上，以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求M、N的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据S_△ABO=1，求出k的值，从而得到一次函数与反比例函数的解析式，再根据一次函数解析式求出C点坐标，再将y=x+2和y=

2

x

组成方程组，求出A点坐标，然后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积；
（2）分两种情况讨论，①AN∥MC，AN=MC时，四边形ANMC为平行四边形，再求出M、N的坐标；②MN∥AC，MN=AC时，四边形ACNM为平行四边形，再求出M、N的坐标．

解答：解：（1）∵∠ABO=90°，S_△ABO=1，
∴k=2S_△ABO=2，
故一次函数解析式为y=x+2；反比例函数解析式为y=

2

x

；
当y=0时，对于x+2=0，x=-2；
C点坐标为（-2，0），
将y=x+2和y=

2

x

组成方程组得；

y=x+2 y= 2 x

，
解得x=-1±

3

，y=1±

3

，
由于交点在第一象限，
故A点坐标为（-1+

3

，1+

3

）．
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AB=

1

2

×（-1+

3

+2）×（1+

3

）=2+

3

；

（2）如图1，作AN⊥y轴，则AN∥MC，
在OC上截取MC=AN，
故四边形ANMC为平行四边形．
∵AN=-1+

3

，
∴MC=-1+

3

，
有∵CO=2，
∴MO=2-1+

3

=1+

3

，
∵ON=AB=1+

3

，
∴N点坐标为（0，1+

3

），M点坐标为（1+

3

，0）．
如图2，当MN∥AC，MN=AC时，
四边形ACNM为平行四边形，
易得，△ABM≌△NOC，
∴AB=NO，
∴N点坐标为（0，1+

3

），
∵△ABC≌△NOM，
∴OM=BC=（-1+

3

+2）=1+

3

，
∴M点坐标为（1+

3

，0）．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及函数图象交点坐标与方程组的关系、平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式、反比例函数系数k的几何意义等知识，旨在考查学生分析问题的能力．