摘要：如图.已知AB是⊙O的弦.OB=2.∠B=30°.C是弦AB上的任意一点 .连接CO并延长CO交⊙O于点D.连接AD． (1)弦长等于 2, (2)当∠D=20°时.求∠BOD的度数, (3)当AC的长度为多少时.以A.C.D为顶点的三角形与以B.C.0为顶点的三角形相似?请写出解答过程． 考点:圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定与性质,解直角三角形. 专题:几何综合题,数形结合. 分析:(1)过点O作OE⊥AB于E.由垂径定理即可求得AB的长, (2)连接OA.由OA=OB.OA=OD.可得∠BAO=∠B.∠DAO=∠D.则可求得∠DAB的度数.又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半.即可求得∠DOB的度数, (3)由∠BCO=∠A+∠D.可得要使△DAC与△BOC相似.只能∠DCA=∠BCO=90°.然后由相似三角形的性质即可求得答案． 解答:解:过点O作OE⊥AB于E. 则AE=BE=AB.∠OEB=90°. ∵OB=2.∠B=30°. ∴BE=OB•cos∠B=2×=. ∴AB=2, 故答案为:2, (2)连接OA. ∵OA=OB.OA=OD. ∴∠BAO=∠B.∠DAO=∠D. ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D. 又∵∠B=30°.∠D=20°. ∴∠DAB=50°. ∴∠BOD=2∠DAB=100°, (3)∵∠BCO=∠A+∠D. ∴∠BCO＞∠A.∠BCO＞∠D. ∴要使△DAC与△BOC相似.只能∠DCA=∠BCO=90°. 此时∠BOC=60°.∠BOD=120°. ∴∠DAC=60°. ∴△DAC∽△BOC. ∵∠BCO=90°. 即OC⊥AB. ∴AC=AB=． 点评:此题考查了垂径定理.圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强.解题时要注意数形结合思想的应用．

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