摘要：16． 如图.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AB=AD=2.DC=. AC⊥BD.垂足为E. (Ⅰ)求证BD⊥A1C, (Ⅱ)求二面角A1-BD-C­1的大小, (Ⅲ)求异面直线AD与BC1所成角的余弦值. 解法一: (I)在直四棱柱中, 底面, 是在平面上的射影. (II)连结 与(I)同理可证 为二面角的平面角. 又且 在中,. . 即二面角的大小为90° (III)过B作BF∥AD交于,连结 则就是与所成的角. 在中,. 即异面直线与所成角的余弦值为. 解法二: (I)同解法一. (II)如图,以D为坐标原点,所 在直线分别为轴,轴,轴,建立空间 直角坐标系. 连结 与(I)同理可证, 为二面角的平面角. 得. ∴ .∴. ∴ 二面角的大小为90°. (II)如图,由.得. ∵ . ∴. 即异面直线与所成角的余弦值为. 解法三: (I)同解法一. (II)如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E. 连结 与(I)同理可证, 为二面角的平面角. 由 得 二面角的大小为 (III)如图,由 得 异面直线与所成角的大小为 [名师指津] 三垂线定理,二面角的平面角.线面角.两条异面直线所成的角作法及求法,线线.线面.面面平 行与直线的判断与性质,构成了立体几何的主要内容,平时学习时应将之落实.

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