Question

（本小题共14分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F

⑴求证：PA//平面EDB

⑵求证：PB平面EFD

⑶求二面角C-PB-D的大小

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：建立空间直角坐标系，如图所示，点D为坐标原点，设DC=1…………1分

 

 

（1）证明：连接AC，AC交BD于点G，连接EG

依题意得A（1,0,0），P（0,0,1），E（0，）

因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，

故点G的坐标为（，0），

且，所以

即PA//EG，而EG平面EDB，且PA平面EDB，

因此PA//平面EDB……6分

（2）证明：依题意得B（1,1,0），，又

故，所以PBDE

由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD……9分

（3）解：已知PBEF，由（2）可知PBDF，

故是二面角C—PB—D的平面角

设点F的坐标为（x，y，z），则

因为所以（x，y，z-1）=k（1,1，-1）即x=k，y=k，z=1-k

为，所以（1,1，-1）=k+k-1+k=3k-1=0

所以k=，点F的坐标为（，，）

又点E的坐标为（0，），所以

因为cos

所以=60，即二面角C—PB—D的大小为60……14分

 

【解析】略