Question

2．2014年11月1日，嫦娥五号再入返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，这标志着中国探月工程三期再入返回飞行试验获得圆满成功．若该试验器在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径R₂，地球表面处的重力加速度为g，则月球质量与地球质量之比为多少？月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为多少？

Answer 1

分析 根据重力和万有引力相等，求出月球和地球的质量之比；根据万有引力提供向心力，得出第一宇宙速度公式，再求比值

解答 解：探测器在地球表面重力为${G}_{1}^{\;}=mg$，探测器在月球表面的重力为${G}_{2}^{\;}=m{g}_{月}^{\;}$
$\frac{{G}_{1}^{\;}}{{G}_{2}^{\;}}=\frac{g}{{g}_{月}^{\;}}$
解得${g}_{月}^{\;}=\frac{{G}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}}g$
探测器在月球表面$m{g}_{月}^{\;}=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{2}^{2}}$①
探测器在地球表面$mg=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{1}^{2}}$②
联立①②得：$\frac{{g}_{月}^{\;}}{g}=\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{1}^{2}}{{R}_{2}^{2}}$
解得：$\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}=\frac{{g}_{月}^{\;}}{{g}_{\;}^{\;}}\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}=\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}$
根据万有引力提供向心力，$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}$
地球的第一宇宙速度${v}_{地}^{\;}=\sqrt{g{R}_{1}^{\;}}$
月球的第一宇宙速度${v}_{月}^{\;}=\sqrt{{g}_{月}^{\;}{R}_{2}^{\;}}$
月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比$\frac{{v}_{月}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\frac{\sqrt{{g}_{月}^{\;}{R}_{2}^{\;}}}{\sqrt{g{R}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}}$
答：月球质量与地球质量之比为$\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}$，月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 $\sqrt{\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}}$

点评 万有引力在天体中的运动，主要是万有引力充当向心力，注意向心力的表达有多种形式，应灵活选择．