题目内容

3．在桌面上有一个倒立的透明玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，玻璃圆锥过轴线的截面为等边三角形，如图所示．有一个半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的上表面，光束的中心轴与圆锥的轴重合，已知玻璃的折射率n=l.73，r为已知．
①通过计算说明光线1能不能在圆锥的侧面B点发生全反射？
②光线l经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间t为多少？光照亮地面的面积为多大？（光在空气中的速度用c表示）

分析 ①光线1射到B点时，入射角等于60°，根据玻璃的折射率为1.73，可得入射角与临界角的大小，从而判断能否发生全反射．
②可根据几何关系可确定光线在圆锥内和外通过的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在玻璃中的速度，即可求解时间．可先根据几何关系可确定光斑的半径，再求解光斑面积．

解答 解：（1）设玻璃圆锥的临界角为C，有：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{1.73}$
得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
而sin=60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得：C＜60°
根据几何知识可知，光线在B点的入射角为60°，大于临界角，所以光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（2）由几何关系知：$\overline{BE}$=$\overline{EF}$=BOtan60°=$\sqrt{3}$r
所以光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间为：t=$\frac{\overline{BE}}{\frac{c}{n}}$+$\frac{\overline{EF}}{c}$=4.73$\frac{r}{c}$
光斑半径为：R=$\overline{OF}$=$\overline{GF}$-$\overline{BO}$cos60°=2$\overline{BE}$cos30°-r=2×$\sqrt{3}$r•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-r=2r
故光照亮地面的光斑面积为：
s=πR2=4πr2．
答：（1）线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（2）光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间t为4.73$\frac{r}{c}$，光照亮地面的光斑面积s是4πr2．

点评 本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算．

练习册系列答案
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