Question

5．如图所示，在xOy竖直平面内有一半径为R与y轴相切于O点的圆，圆上一点P的坐标为（R，R），平行于x轴的直线与圆相切于P点．除该圆形区域外，xOy平面内均存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．现从P点向y≥R一侧沿xOy的各个不同方向发射带正电的微粒，微粒的质量为m，电荷量为q，速度大小相同，在电场和磁场区域做匀速圆周运动，均能平行于沿x轴的正方向进入圆形区域．重力加速度为g，圆形区域的边界在电场磁场中．
（1）求匀强电场的电场强度；
（2）求带电微粒在磁场中运动的速度；
（3）若某微粒从O点进入圆形区域，从M点（图中未标出）离开圆形区域，OM与x轴成θ角，求该微粒从P点到M点运动的时间．

Answer 1

分析 （1）微粒在电磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力合力为零，据此求出电场强度．
（2）由几何知识求出微粒做匀速圆周运动的轨道半径，然后由牛顿第二定律求出微粒的速度．
（3）求出微粒在磁场中做圆周运动的时间，求出微粒在圆形区域的运动时间，然后求出微粒总的运动时间．

解答 解：（1）带电粒子在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力合力为零，
微粒在竖直方向处于平衡状态：qE=mg，解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）选取任意带电微粒做圆周运动，设半径为r，平行x轴正方向进入圆形区域，如图所示．
由几何关系可得：SP、NQ均垂直于x轴，且NQ、NP和SQ、SP分别为两圆的半径，
因此：△NPS≌△NQS，故四边形SPNQ为菱形，可得：r=R，
带电微粒在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{qBR}{m}$；
（3）微粒电磁场中做匀速圆周运动，设微粒做圆周运动时间为t₁，
由于微粒沿x轴进入圆形区域，故两圆心与两圆交点的连线组成正方形，
圆周运动对应的圆心角：θ=$\frac{3π}{2}$．                        
微粒在磁场中的运动时间：t₁=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{θm}{qB}$=$\frac{3πm}{2qB}$，
微粒在圆形区域内在重力作用下平抛运动，设运动时间为t₂，
OM与x轴成θ角，设速度方向与x轴方向夹角为α，
由平抛运动规律可知：tanα=2tanθ，tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{g{t}_{2}}{{v}_{0}}$，解得：t₂=$\frac{2qBRtanθ}{mg}$，
微粒从O点进入圆形区域，从M点离开圆形区域所用的总时间为：t=t₁+t₂=$\frac{3πm}{2qB}$+$\frac{2qBRtanθ}{mg}$；
答：（1）匀强电场的电场强度$\frac{mg}{q}$；
（2）带电微粒在磁场中运动的速度为$\frac{qBR}{m}$；
（3）该微粒从P点到M点运动的时间为$\frac{3πm}{2qB}$+$\frac{2qBRtanθ}{mg}$．

点评 带电粒子在复合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．