如图甲所示.光滑的平行金属导轨水平放置.导轨间距为l.左侧接一阻值为R的电阻．在MN与PQ之间存在垂直轨道平面的有界匀强磁场.磁场宽度为d．一质量为m的金属棒ab置于导轨上.与导轨垂直且接触良好.不计导轨和金属棒的电阻．金属棒ab受水平力F=$\sqrt{0.2x}$+0.4(N)的作用.其中x为金属棒距MN的距离.F与x的关系如图乙所示．金属棒ab从磁场的左边界由静止开始运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图甲所示，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻．在MN与PQ之间存在垂直轨道平面的有界匀强磁场，磁场宽度为d．一质量为m的金属棒ab置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．金属棒ab受水平力F=$\sqrt{0.2x}$+0.4（N）的作用，其中x为金属棒距MN的距离，F与x的关系如图乙所示．金属棒ab从磁场的左边界由静止开始运动，通过电压传感器测得电阻R两端电压随时间均匀增大．已知l=1m，m=1kg，R=0.5Ω，d=1m．问：
（1）金属棒刚开始运动时的加速度为多少？并判断该金属棒在磁场中做何种运动．
（2）磁感应强度B的大小为多少？
（3）若某时刻撤去外力F后棒的速度v随位移s的变化规律满足v=v₀-$\frac{{{B^2}{l^2}}}{mR}$s（v₀为撤去外力时的速度，s为撤去外力F后的位移），且棒运动到PQ处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？
（4）在（3）的情况下，金属棒从MN运动到PQ的整个过程中左侧电阻R产生的热量约为多少？

分析（1）对金属棒受力分析，然后由牛顿第二定律求出加速度，根据题意，应用E=BLv判断金属棒的运动性质；
（2）由图象求出x与F的对应值，应用牛顿第二定律求出磁感应强度；
（3）由匀变速直线运动的位移公式、题意求出物体的位移，然后求出力的作用时间；
（4）克服安培力做功转化为焦耳热，由动能定理可以求出R产生的热量．

解答解：（1）金属棒刚开始运动时x=0，且v=0，不受安培力作用，所以此时所受合外力为：
F=$\sqrt{0.2x}+0.4$=0.4N，
由牛顿第二定可得：a=$\frac{F}{m}=\frac{0.4}{1}$m/s²=0.4m/s²
依题意，电阻R两端电压随时间均匀增大，即金属棒切割磁感线产生的电动势随时间均匀增大，根据ε=Blv，可知金属棒的速度随时间均匀增大，所以金属棒做初速度为零的匀加速运动
（2）金属棒做初速度为零，加速度为a=0.4m/s²的匀变速运动，则$v=\sqrt{2ax}$…①
由牛顿第二定可知：$F-\frac{{{B^2}{l^2}v}}{R}=ma$…②
又F=$\sqrt{0.2x}+0.4$，
代入得：$（\sqrt{0.2}-\frac{{{B^2}{l^2}}}{R}\sqrt{2a}）\sqrt{x}+0.4=ma$
所以 $\sqrt{0.2}-\frac{{{B^2}{l^2}}}{R}\sqrt{2a}=0$…③
解得：$B=\sqrt{\frac{{\sqrt{0.2}R}}{{\sqrt{2a}{l^2}}}}=\sqrt{\frac{{\sqrt{0.2}•0.5}}{{\sqrt{2•0.4}×{1^2}}}}T=0.5T$…④
从图乙可知，当x=0.8m时，F=0.8N，代入②式有$0.8-\frac{{{B^2}×{1^2}}}{0.5}\sqrt{2×0.4×0.8}=1×0.4$…③
解得：B=0.5T…④
（3）设外力F作用的时间为t，则力F作用时金属棒运动距离：$x=\frac{1}{2}a{t^2}$，
撤去外力后金属棒的速度为：$v={v_0}-\frac{{{B^2}{l^2}}}{mR}s$，
到PQ恰好静止，所以v=0，v₀=at，
得撤去外力后金属棒运动距离：$s=\frac{mR}{{{B^2}{l^2}}}•at$；
因此$\frac{1}{2}a{t^2}+\frac{mR}{{{B^2}{l^2}}}•at=d$
代入相关数值，得：0.2t²+0.8t-1=0，
解得：t=1s
（4）力F作用时金属棒运动距离：$x=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}×0.4×{1^2}m=0.2m$
由F-x图可知图线与横、纵坐标轴所围面积代表在此过程中外力F做的功W_F，通过数格子可知W_F约为0.11J．
金属棒从MN开始运动到PQ边静止，由动能定理得：W_F+W_安=0
所以电阻R产生的热量为：Q_R=-W_安=W_F=0.11J
答：（1）金属棒刚开始运动时的加速度为0.44m/s²；该金属棒在磁场中初速度为零的匀加速运动
（2）磁感应强度B的大小为0.5T；
（3）外力F作用的时间为1s；
（4）在（3）的情况下，金属棒从MN运动到PQ的整个过程中左侧电阻R产生的热量约为0.11J．

点评本题是一道电磁感应、力学相结合的综合题，难度较大，分析清楚金属棒的运动过程、应用题目所给条件、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题；电阻R产生的热量等于克服安培力所做的功

练习册系列答案

相关题目

10．

如图所示，在光滑水平面上放置ABC三物体，A与B用一弹性良好的轻质弹簧连在一起，开始弹簧处于原长，A、B均静止．A、B的质量均为M=2kg，另一物体C以初速度v₀=6m/s水平向右运动，C与A碰撞后粘合在一起，设碰撞时间极短，已知C的质量为m=1kg．求：
（1）弹簧弹性势能的最大值
（2）在以后的运动过程中物体B的最大速度．

11．

利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图是霍尔元件的工作原理示意图，磁感线强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，E、F为前后侧面，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差U_CD，下列说法中正确的是（　　）

	A．	电势差U_CD仅与材料有关
	B．	若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差U_CD为负
	C．	仅增大磁感应强度时，电势差U_CD变大
	D．	在测量地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平（即图中所示）

2．

如图所示，分别用两个恒力F₁和F₂，先后两次将质量为m的物体从静止开始沿着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端．第一次力F₁的方向沿斜面向上，第二次力F₂的方向沿水平向右，两次所用的时间相同．在这两个过程中（　　）

	A．	F₁和F₂所做功的平均功率一定相同		B．	物体机械能变化一定相同
	C．	F₁和F₂对物体的冲量大小一定相同		D．	物体克服摩擦力做的功一定相同