Question

6．某种娱乐比赛的示意图如图所示，质量为m=0.1kg的小球穿在长为L的杆上（L足够长），它们间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，两个半径都为R=0.4m的四分之一圆轨道拼接后与杆在B点平滑连接（连接处长度不计），两个圆的圆心O₁、Q₂等高，圆轨道可视为光滑，C点切线水平，整个装置处于同一竖直平面内，离C点水平距离为d=0.8m的得分区MN，其宽度为△d=$\frac{d}{2}$，若每次小球都从杆上由静止释放，杆与水平面的夹角θ可调，重力加速度g取10m/s²，请回答：

（1）小球离开C点时的速度多大才能落在得分区的M点？
（2）落在M点的小球在C处时，轨道对小球的作用力多大？
（3）若θ=60°，小球在杆上离B点多少距离处释放才能落在得分区？

Answer 1

分析 （1）小球离开C点时做平抛运动，已知平抛运动的水平位移和竖直位移，由分位移公式可求得C点的速度．
（2）在C点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求解．
（3）先由平抛运动的规律得到小球要落在N点，经过C点的速度，从而得到落在得分区时C点的速度范围，再由动能定理求解即可．

解答 解：（1）小球离开C点时做平抛运动，则有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
d=v_C1t
联立解得：v_C1=2m/s
（2）设轨道对小球的作用力大小为F，则在C点有：
mg+F=m$\frac{{v}_{C1}^{2}}{R}$
解得：F=0
（3）小球落在N点，经过C点的速度为：v_C1=$\frac{d+△d}{t}$=3m/s
所以小球要落在得分区，经过C点的速度大小范围为：2m/s≤v_C≤3m/s
从小球释放滑到C点，根据动能定理得：
mg（xsinθ-2R）-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立以上式子，得：$\sqrt{3}$m≤x≤$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m
所以小球在杆上离B点$\sqrt{3}$m～$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m的距离处释放才能落在得分区．
答：（1）小球离开C点时的速度是2m/s才能落在得分区的M点．
（2）落在M点的小球在C处时，轨道对小球的作用力是0．
（3）若θ=60°，小球在杆上离B点$\sqrt{3}$m～$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m的距离距离处释放才能落在得分区．

点评 对于平抛运动，要熟练运用运动的分解法研究，要知道平抛运动的时间由下落的高度决定的，高度一定时下落时间是相等的．