Question

20．如图所示，竖直平面内竖直方向的直线a、b宽度为d，直线a、b之间有方向水平向右电场强度为E的匀强电场，直线b的右侧有竖直向上电场强度大小仍为E的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．令有质量为m的带正电微粒从直线a上的A点以某一速度竖直向上运动，当它到达直线b上时，速度变为水平方向，且大小与A点的速度大小相同，竖直方向的位移为d，然后进入直线b右侧的电磁场区域运动，又从距离A竖直高度为2d的位置再次进入直线a、b之间运动，重力加速度为g，直线b右侧的电磁场区域非常宽．求：
（1）微粒的电荷量q和在A点的速度大小v₀；
（2）磁感应强度B的大小和小球从A点出发再次回到直线a的时间；
（3）小球在第n次在电磁场中运动轨迹圆的弦长L．

Answer 1

分析 （1）将微粒在电场中的运动分解成水平方向与竖直方向，根据动能定理判断出电场力的大小与重力大小的关系；根据动能定理求出微粒的初速度；
（2）微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由此求出磁感应强度；再由洛伦兹力提供向心力求出微粒在磁场中运动的时间；分方向使用动量定理求出微粒在电场中运动的时间，然后求出总时间；
（3）分析微粒第二次在电场中运动的轨迹，求出第二次进入磁场时的速度以及速度的方向，画出微粒在磁场中的运动轨迹，判断出粒子运动的出射点，从而求出弦长；同理分析微粒第三次在电场中运动的情况和第三次在磁场中运动的情况，依据数学归纳法即可做出判断．

解答 解：（1）由题，微粒第一次在电场中运动时，竖直方向：
$-2gd=0-{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gd}$
水平方向：$2ad={v}_{0}^{2}-0$
所以：a=g
而水平方向：ma=qE
联立得：q=$\frac{mg}{E}$
（2）微粒在b右侧的复合场中运动时，由于qE=mg，即电场力与重力大小相等，方向向上，所以微粒受到的电场力与重力的合力始终等于0．微粒受到的洛伦兹力始终与速度的方向垂直，所以微粒在复合场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
其中：2r=2d-d=d
所以：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$=$\frac{2m\sqrt{2gd}}{qd}$
微粒垂直于b进入复合场，由运动的特点可知，微粒在复合场中运动的时间是半个周期，所以：
${t}_{2}=\frac{1}{2}T$
微粒做匀速圆周运动时：$q{v}_{0}B=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：$T=\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{q}•\frac{qd}{2m\sqrt{2gd}}$=$\frac{π\sqrt{2gd}}{2g}$
微粒从A到b的过程中，-mgt₁=0-mv₀
所以：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{\sqrt{2gd}}{g}$
微粒车复合场中射出后的速度也是v₀，沿电场线的方向返回a的时间：-qEt₃=0-mv₀
联立得：${t}_{3}={t}_{1}=\frac{\sqrt{2gd}}{g}$
所以小球从A点出发再次回到直线a的时间：
t=t₁+t₂+t₃
联立得：t=$\frac{（8+π）\sqrt{2gd}}{4g}$
（3）微粒回到a时沿水平方向的分速度是0，结合运动的对称性可知微粒第三次到达b再使用的时间：
t₄=t₁=t₃
微粒在第二次到达b至第三次到达b的过程中竖直方向的位移：y=$\frac{1}{2}g（{t}_{3}+{t}_{4}）^{2}$
联立可得：y=4d
此时微粒沿水平方向的分速度仍然是v₀，而竖直方向的分速度：
v_3y=g（t₃+t₄）
联立可得：v_3y=2v₀
微粒的速度：${v}_{3}=\sqrt{{v}_{0}^{2}}+{v}_{3y}^{2}=\sqrt{5}{v}_{0}$
设此时微粒在竖直方向的夹角为θ，则：sinθ=$\frac{{v}_{0}}{v}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
画出微粒在磁场中运动的圆轨迹如图：

微粒在磁场中运动的半径：${r}_{3}=\frac{m•\sqrt{5}{v}_{0}}{qB}=\sqrt{5}r$
此时圆与b的弦长：l=2r₃sinθ=2r=d
根据运动的对称性可知，微粒再次从复合场中出来时，沿水平方向的速度仍然是v₀，沿竖直方向的速度仍然是2v₀，结合前面的分析可知，微粒从第四次到达b到第五次到达b的时间与第二次到达b后第三次到达b的时间是相等的，微粒到达b后，沿水平方向的分速度仍然是v₀，无论竖直方向的分速度是多大，设到达b的速度是v，则微粒的速度与竖直方向之间的夹角为β，则：sinβ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}$
微粒运动的半径：${r}_{n}=\frac{m{v}_{n}}{qB}$
微粒在电磁场中运动轨迹圆的弦长：L=2r_n•sinβ=$2×\frac{m{v}_{n}}{qB}•\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}=2•\frac{m{v}_{0}}{qB}$=d
可知微粒在电磁场中运动轨迹圆的弦长始终是d．
答：（1）微粒的电荷量q是$\frac{mg}{E}$，在A点的速度大小是$\sqrt{2gd}$；
（2）磁感应强度B的大小是$\frac{2m\sqrt{2gd}}{qd}$，小球从A点出发再次回到直线a的时间是$\frac{（8+π）\sqrt{2gd}}{4g}$；
（3）小球在第n次在电磁场中运动轨迹圆的弦长L是d．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意当粒子在复合场中做匀速圆周运动时，粒子受到的电场力与重力平衡．