Question

18．如图所示，足够长水平固定平行导轨间距L=0.5m，现有相距一定距离的两根导体棒ab和cd静止放置在导轨上，两棒质量均为m=1kg，电阻分别为R_ab=0.3Ω，R_cd=0.1Ω，整个装置处在磁感应强度B=1T方向竖直向上的匀强磁场中，现给ab棒一水平向右的初速度v₀=2m/s，以后ab和cd两棒运动过程中与导轨始终保持良好接触且和导轨始终垂直，导轨电阻忽略不计，不计一切摩擦，两导体棒在运动过程中始终不接触，试求从ab棒运动至最终达到稳定状态的过程中：
（1）最终稳定状态时两棒的各自速度分别为多少？
（2）从ab棒开始运动至最终达到稳定状态的过程中，ab棒上产生的焦耳热Q是多少？
（3）要使两棒在运动过程中始终不接触，则初始时刻两棒之间的距离d至少多大？

Answer 1

分析 （1）方向两个导体棒的运动情况，根据动量守恒定律列方程求解共同速度；
（2）根据功能关系和焦耳定律求解ab棒上产生的焦耳热Q；
（3）根据电荷量的经验公式结合动量定理联立求解两棒之间的距离d的最小值．

解答 解：（1）由题意可知，ab棒先做加速度减小的减速运动，后做匀速运动；cd棒先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，最后二者匀速运动的速度相同；
相同在水平方向合外力为零，动量守恒；
去向右为正，根据动量守恒定律可得：mv₀=2mv，
解得v=1m/s，
所以最终稳定状态时两棒的速度均为1m/s；
（2）设整个过程中产生的总的焦耳热为Q_总，根据功能关系可得：
Q_总=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$
ab棒上产生的焦耳热Q=$\frac{{R}_{ab}}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$Q_总，
解得Q=0.75J；
（3）整个过程中通过ab棒的电荷量为q，则：
q=It=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$=$\frac{BLd}{{R}_{总}}$；
根据动量定理可得：$B\overline{I}Lt=m{v}_{0}-mv$，
解得：q=$\frac{m{v}_{0}}{2BL}$，
联立解得：d=$\frac{m{v}_{0}（{R}_{ab}+{R}_{cd}）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$，
代入数据解得d=1.6m．
答：（1）最终稳定状态时两棒的速度均为1m/s；
（2）从ab棒开始运动至最终达到稳定状态的过程中，ab棒上产生的焦耳热Q为0.75J；
（3）要使两棒在运动过程中始终不接触，则初始时刻两棒之间的距离d至少为1.6m．

点评 对于安培力作用下导体棒的运动问题，如果涉及电荷量、求位移问题，常根据动量定理结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律列方程进行解答．