Question

15．一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ．初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a₀开始运动，当其速度达到v₀后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动．求：
（1）传送带从静止开始加速到v₀所需的时间；
（2）从传送带开始运动到速度刚达到v₀这段时间内，煤块相对地面的位移大小；
（3）煤块在传送带上留下黑色痕迹的长度．

Answer 1

分析 传送带先加速后匀速，煤块先加速，当速度增大到等于传送带速度后，与传送带不再相对滑动，一起匀速．先根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式计算出运动时间，求出煤块和皮带的位移后，即可以得到黑色痕迹的长度．

解答 解：（1）设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v₀，v₀=a₀t 所以，t=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{0}}$
（2）煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a₀．根据牛顿定律，可得a=μg
则当传送带速度刚达到v₀时，煤块相对地面运动的位移为
s₁=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$μg（$\frac{{v}_{0}}{a}$）²=$\frac{μg{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}^{2}}$
（3）设在煤块的速度从0增加到v₀的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s₀和s，有
s₀=$\frac{1}{2}$a₀t²+v₀t′
s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$
传送带上留下的黑色痕迹的长度
l=s₀-s
由以上各式得
黑色痕迹的长度l=$\frac{{v}_{0}^{2}{（a}_{0}-μg）}{2{μa}_{0}g}$；
答：（1）传送带从静止开始加速到v₀所需的时间为$\frac{{v}_{0}}{{a}_{0}}$；
（2）从传送带开始运动到速度刚达到v₀这段时间内，煤块相对地面的位移大小为$\frac{μg{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}^{2}}$；
（3）煤块在传送带上留下黑色痕迹的长度为$\frac{{v}_{0}^{2}{（a}_{0}-μg）}{2{μa}_{0}g}$．

点评 本题关键分析清楚皮带和煤块的受力情况和运动情况，要做好受力分析和过程分析，然后根据运动学公式求解．