Question

7．电子对湮灭是指电子“e^-”和正电子“e⁺”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且$\overline{OP}$=2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，$\overline{OA}$=L，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v₀的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为$\sqrt{2}{v_0}$的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为e，电子的重力不计．求：
（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
（2）电子子从A点运动到P点所用的时间；
（3）Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积S．

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，结合几何关系求解轨道半径，根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度；电子在电场中做类似平抛运动，根据类似平抛运动的分位移公式列式求解E即可；
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，运动的时间是$\frac{1}{4}T$，在电场中做类似平抛运动，根据类似平抛运动的分位移公式列式即可求出在电场中运动的时间，最后求和；
（3）在矩形区域中运动的粒子的速度偏转角度为90°，画出轨迹，结合几何关系确定磁场面积．

解答 解：（1）电子束a从A点沿y轴正方向发射，经过C点，画出从A到C的轨迹，如图所示：
结合几何关系，有：r=L…①
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，故：ev₀B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
联立解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{eL}$；
电子从C到P过程是类似平抛运动，根据分运动公式，有：
2L=v₀t₂
L=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
其中：a=$\frac{eE}{m}$
联立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$，${t}_{2}=\frac{2L}{{v}_{0}}$
（2）电子在磁场中运动的时间是$\frac{1}{4}T$，而：$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πL}{{v}_{0}}$
所以：${t}_{1}=\frac{1}{4}T=\frac{πL}{2{v}_{0}}$
电子从A到P的时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（π+4）L}{2{v}_{0}}$
（3）电子射出电场的区域后，沿y方向的分速度：v_y=at₂
电子的运动方向与x轴之间的夹角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
代入数据得：θ=45°
速度的大小为：$v′=\frac{{v}_{0}}{cos45°}=\sqrt{2}{v}_{0}$
所以正电子“e⁺”在磁场中做匀速圆周运动，经过磁场的区域后速度偏转角为90°，洛伦兹力提供向心力，故：
$evB=m\frac{{v}^{2}}{r′}$
解得：r′=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{eB}=\sqrt{2}L$
由于正电子离开磁场时正好到达P点，所以轨迹如图：
由几何关系可得，该圆形区域的最小半径：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}r′$=L
故最小面积为：S=πR²=πL²
正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，所以：$\overline{QN}=\overline{NM}=\overline{OP}=2L$
所以：$\overline{OQ}=\overline{QN}+2R=2L+2L=4L$
所以Q点纵坐标是-4L．
答：（1）圆形区域内磁场感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{eL}$；第Ⅰ象限内匀强电场的场强大小E为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$；
（2）电子子从A点运动到P点所用的时间为$\frac{（π+4）L}{2{v}_{0}}$；
（3）Q点纵坐标是-4L，未知圆形磁场区域的最小面积是πL²．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律、画出运动轨迹，然后结合牛顿第二定律、类似平抛运动的分位移公式和几何关系列式求解．