Question

12．如图所示．在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一竖直放置的光滑的平行金属导轨．导轨平面与磁场垂直，导轨间距为L，顶端接有阻值为R的电阻．将一报金属棒从导轨上的M处以速度v₀竖直向上抛出，棒到达N处后返回，回到出发点M时棒的速度为抛出时的一半．己知棒的长度为L，质量为m，电阻为r．金属棒始终在磁场中运动，处于水平且与导轨接触良好，忽略导轨的电阻．重力加速度为g．求：
（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，电阻R消耗的电能；
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时的速度大小v；
（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子的碰撞．已知元电荷为e，求当金属棒向下运动达到稳定状态时，棒中金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小．

Answer 1

分析 （1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，动能减少转化为电能，根据能量守恒定律求电阻R消耗的电能．
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时重力的功率等于回路的电功率．由此列式求解最大速度．
（3）根据电流的微观表达式I=neSv和金属棒生热功率公式P_r=（nSL）fv，结合进行解答．

解答 解：（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，由能量守恒得
回路中消耗的电能  Q=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$m（$\frac{{v}_{0}}{2}$）²=$\frac{3}{8}$mv₀²，
电阻R消耗的电能  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{3mR{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时作匀速直线运动，
设最大速度为v，则有  mgv=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$，其中 E=BLv，解得：v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）当金属棒向下运动达到稳定状态时
单位时间内机械能减少  P=mgv_m，
金属棒生热功率：P_r=$\frac{r}{R+r}$P，
回路中的电流：I=$\frac{BLv}{R+r}$，
设棒的横截面积为S，棒中单位体积内的自由电子数为n，
棒中自由电子定向移动的速度为v，金属离子对自由电子的平均作用力为f．
则  P_r=（nSL）fv，I=neSv．所以：f=$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$；
答：（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，a．电阻R消耗的电能为$\frac{3mR{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时，所具有的最大速度为$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）棒中金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小为$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$．

点评 本题是一道电磁感应与力学相结合的综合题，解决本题的是握金属棒稳定的条件，理解宏观与微观联系的桥梁是电流的微观表达式．