Question

1．甲、乙两颗人造卫星绕地球做圆周运动的线速度之比为1：2，则它们（　　）

• A． 加速度之比为1：2
• B． 加速度之比为1：16
• C． 周期之比为1：4
• D． 周期之比为8：1

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$r=\frac{GM}{{v}^{2}}$，根据已知的线速度之比计算出轨道半径之比，然后再根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解出加速度和周期与轨道半径的关系，在计算其比值．

解答 解：根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得：$r=\frac{GM}{{v}^{2}}$，因为线速度之比$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{4}{1}$
根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得：$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$，$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
得：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{2}$=$\frac{1}{16}$
$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}$=$\frac{8}{1}$
故BD正确、AC错误．
故选：BD．

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．