Question

6．我国将在2013年使用长征三号乙火箭择机发射嫦娥三号．发射嫦娥三号是采用火箭喷气发动机向后喷气而加速的．设运载火箭和嫦娥三号的总质量为M，地面附近的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．
（1）用题给物理量表示地球的质量．
（2）假设在嫦娥三号舱内有一平台，平台上放有测试仪器，仪器对平台的压力可通过监控装置传送到地面．火箭从地面启动后竖直向上做加速直线运动，升到距离地面高度等于地球半径的$\frac{1}{2}$时，地面监控器显示测试仪器对平台的压力为启动前压力的$\frac{17}{18}$，求此时火箭的加速度．
（3）当火箭将嫦娥三号送入太空某一高度后，嫦娥三号速度为v₀；假设此后火箭喷气发动机每次向后喷气都可使嫦娥三号产生加速度a，每次喷气时间为△t，求火箭喷气发动机喷出n次气体后嫦娥三号的速度．

Answer 1

分析 根据重力等于万有引力计算地球的质量．
以测试仪器为研究对象，根据解火箭离地面的高度，由重力等于万有引力，根据牛顿第二定律求出此时火箭的加速度．
根据加速度的定义式计算变化后的速度．

解答 解：（1）在地面附近，有：mg=G$\frac{{M}_{地}m}{{R}^{2}}$　
解得：M_地=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）选取仪器为研究对象，设仪器质量为m₀，火箭启动前，仪器对平台的压力为：F₀=G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$　
在距离地面的高度为h时，仪器所受到的万有引力为：F=G$\frac{M{m}_{0}}{（R+h）^{2}}$　
由题意知，h=$\frac{R}{2}$时，平台对仪器的支持力为F₁
F₁=$\frac{17}{18}$F₀　
由牛顿第二定律，有：F₁-F=m₀a'
联立解得：a'=$\frac{g}{2}$．
（3）由a=$\frac{△v}{△t}$可得每次喷气速度增加为：△v=a△t　
喷出n次气体后嫦娥三号的速度：v=v₀+na△t．
答：（1）地球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）则此时火箭的加速度为$\frac{g}{2}$．
（3）火箭喷气发动机喷出n次气体后嫦娥三号的速度为v₀+na△t．

点评 本题要掌握在忽略地球自转的情况下，地球表面的物体受到的重力等于万有引力，要掌握并理解加速度的定义式．