Question

19．如图所示，在真空中，半径为R的虚线所围的圆形区域内只存在垂直纸面向外的匀强磁场．有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以速率V₀从圆周上的P点沿垂直于半径OO_l并指向圆心O的方向进入磁场，从圆周上的O₁点飞出磁场后沿两板的中心线O₁O₂射入平行金属板M和N，O₁O₂与磁场区域的圆心O在同一直线上．板间存在匀强电场，两板间的电压为U，两板间距为d．不计粒子所受重力．求：
（1）磁场的磁感应强度B的大小；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）粒子在两平行板间运动过程中的最大速度与板长L的关系．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由几何知识得到轨迹半径，由牛顿第二定律求解磁感应强度的大小；
（2）粒子运动$\frac{1}{4}$周期时间，求得周期，即可求出粒子在磁场中运动的时间；
（3）粒子在平行板间做类平抛运动，应用类平抛运动规律与动能定理可以求出速度与L间的关系．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
由几何关系知：r=R，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$；
（2）粒子在圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$，粒子在磁场中运动时间为四分之一个周期，有：
t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πR}{2{v}_{0}}$；
（3）粒子在平行板间做类平抛运动，则有：
L=v₀t  
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$t²，
联立解得：y=$\frac{qU{L}^{2}}{2md{v}_{0}^{2}}$，
若y≥$\frac{d}{2}$，即：L≥$\sqrt{\frac{md{v}_{0}^{2}}{qU}}$时，粒子打在板上，
这种情况下粒子在板间的最大速度v₁，由动能定理得：
q$\frac{U}{2}$=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{qU+m{v}_{0}^{2}}{m}}$，
当y＜$\frac{d}{2}$，即：L＜$\sqrt{\frac{m{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{qU}}$时，粒子从两板间飞出电场，
粒子在板间的最大速度V₂，这种情况下由动能定理得：
q•$\frac{U}{d}$•y=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得最大速度为：v₂=$\sqrt{\frac{{q}^{2}{U}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}{d}^{2}{v}_{0}^{2}}+{v}_{0}^{2}}$；
答：（1）磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qR}$；
（2）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{πR}{2{v}_{0}}$；
（3）粒子在两平行板间运动过程中的最大速度与板长L的关系为：
当粒子打在极板上时，最大速度为$\sqrt{\frac{qU+m{v}_{0}^{2}}{m}}$，当粒子从两板间飞出电场时速度为$\sqrt{\frac{{q}^{2}{U}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}{d}^{2}{v}_{0}^{2}}+{v}_{0}^{2}}$．

点评 本题粒子在磁场中运动时，由几何知识求出轨迹半径是关键，在电场中分析两段位移的关系是关键．