Question

2．己知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G；
（1）求地球的平均密度ρ；
（2）2016年我国将发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟Ⅱ号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”交会对接．假设“天宫二号”空间实验室进入预定轨道后绕地球做匀速圆周运动，运行的周期是T，结合题干中所给的己知量，求“天宫二号”空间实验室绕地球运行时离地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出地球的质量，结合密度公式求出地球的平均密度．
（2）根据万有引力提供向心力，结合周期的大小求出轨道半径，从而得出“天宫二号”空间实验室绕地球运行时离地面的高度．

解答 解：（1）设地球的质量为M，对于在地面处质量为m的物体，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ①
又因为$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$     ②
由①②两式解得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$．
（2）设飞船的质量为m′，
则$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，④
由①④两式解得h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）地球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）“天宫二号”空间实验室绕地球运行时离地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．